Задача 3: Высота прямоугольного треугольника делит прямой угол на два угла, один из которых вдвое больше другого. Докажите, что эта высота делит гипотенузу в отношении 3:1.

Пусть $$ABC$$ - прямоугольный треугольник с прямым углом $$C$$. Пусть $$CD$$ - высота, проведенная к гипотенузе $$AB$$. По условию, один из углов, образованных высотой $$CD$$ с катетами, вдвое больше другого. Пусть $$\angle ACD = 2x$$, а $$\angle BCD = x$$. Так как $$\angle ACB = 90^{\circ}$$, то $$2x + x = 90^{\circ}$$, значит, $$3x = 90^{\circ}$$ и $$x = 30^{\circ}$$. Тогда $$\angle ACD = 60^{\circ}$$ и $$\angle BCD = 30^{\circ}$$. В прямоугольном треугольнике $$ACD$$: $$\angle CAD = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$$. В прямоугольном треугольнике $$BCD$$: $$\angle CBD = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$$. Пусть $$AD = y$$, $$BD = z$$. Надо доказать, что $$z:y = 3:1$$. Используем теорему о том, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу: $$AC^2 = AD \cdot AB = y(y+z)$$ $$BC^2 = BD \cdot AB = z(y+z)$$ В прямоугольном треугольнике $$ABC$$: $$\angle A = 30^{\circ}$$ и $$\angle B = 60^{\circ}$$. Тогда $$BC = \frac{1}{2} AB$$, значит $$AB = 2BC$$. $$AB = AD + DB = y + z = 2BC$$. Применим теорему Пифагора к треугольнику $$ABC$$: $$AC^2 + BC^2 = AB^2 = (y+z)^2$$ $$y(y+z) + z(y+z) = (y+z)^2$$ Рассмотрим треугольник $$BCD$$. $$\angle BCD=30$$, следовательно $$BD = \frac{\sqrt{3}}{3} CD $$ , a $$\angle CAD=60$$, следовательно $$AD = \sqrt{3} CD $$. Таким образом $$\frac{BD}{AD} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} CD}{\sqrt{3} CD} = \frac{1}{3}$$ или $$AD = 3 BD$$. Следовательно, гипотенуза делится в отношении 3:1. **Что и требовалось доказать.**