Задача 4: Высота BD прямоугольного треугольника ABC равна 24 см и отсекает от гипотенузы AC отрезок DC, равный 18 см. Найдите AB и cos A.

Для решения этой задачи понадобится знание свойств прямоугольных треугольников и высоты, проведенной к гипотенузе. Шаг 1: Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC. По теореме Пифагора, найдем BC: \[BC^2 = BD^2 + DC^2\] \[BC^2 = 24^2 + 18^2\] \[BC^2 = 576 + 324\] \[BC^2 = 900\] \[BC = \sqrt{900} = 30\] Шаг 2: Используем свойство высоты в прямоугольном треугольнике: \(BD^2 = AD \cdot DC\). Отсюда можно найти AD: \[24^2 = AD \cdot 18\] \[576 = AD \cdot 18\] \[AD = \frac{576}{18} = 32\] Шаг 3: Теперь найдем гипотенузу AC: \[AC = AD + DC = 32 + 18 = 50\] Шаг 4: Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. По теореме Пифагора, найдем AB: \[AB^2 + BC^2 = AC^2\] \[AB^2 + 30^2 = 50^2\] \[AB^2 + 900 = 2500\] \[AB^2 = 2500 - 900\] \[AB^2 = 1600\] \[AB = \sqrt{1600} = 40\] Шаг 5: Найдем cos A: \[cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{40}{50} = \frac{4}{5} = 0.8\] Ответ: \[AB = 40 \text{ см}, \quad cos A = 0.8\]