Задача 1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 80°, угол CAD равен 34°. Найдите угол АВС. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Угол BCD и угол BAD — вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу BD. Следовательно, они равны.
2. Угол CAD является частью угла BAD.
3. Угол ABD и угол ACD — вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу AD. Следовательно, они равны.
4. Угол ABC и угол ADC — вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу AC. Следовательно, они равны.
5. В четырехугольнике ABCD: ∠ABD = 80°, ∠CAD = 34°.
6. Угол ABC = ∠ABD + ∠DBC.
7. Угол ADC = ∠ADB + ∠BDC.
8. Углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Дуга AD = 2 * ∠ABD = 2 * 80° = 160° (неверно, так как угол ABD не опирается на дугу AD).
9. Дуга CD = 2 * ∠CAD = 2 * 34° = 68°.
10. Угол CBD = ∠CAD = 34° (опираются на дугу CD).
11. Угол ABC = ∠ABD + ∠CBD = 80° + 34° = 114°.

Ответ: 114