Задача 4. В окружности с центром в точке О отрезки АС и BD - диаметры. Угол AOD равен 148°. Найдите угол АСВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Угол AOD и угол BOC являются вертикальными углами, поэтому ∠BOC = ∠AOD = 148°.
2. Угол ACB является вписанным углом, опирающимся на дугу AB.
3. Угол AOB является развернутым углом, так как AC – диаметр. Поэтому ∠AOB = 180°.
4. Угол AOC также является развернутым углом, так как BD – диаметр. Поэтому ∠AOC = 180°.
5. Угол AOD и угол AOC составляют угол DOC.
6. Угол AOD = 148°. Угол AOC = 180°.
7. Угол DOC = ∠AOC - ∠AOD = 180° - 148° = 32°.
8. Угол ABC и угол ADC опираются на дугу AC.
9. Угол CAD и угол CBD опираются на дугу CD.
10. Угол ACB опирается на дугу AB.
11. Угол AOD = 148°. Угол AOC = 180°.
12. Угол COD = 180° - 148° = 32°.
13. Угол ABD опирается на дугу AD.
14. Угол CAD опирается на дугу CD.
15. Угол ACB опирается на дугу AB.
16. Угол AOD = 148°. Угол BOC = 148°.
17. Сумма углов вокруг центра O: ∠AOD + ∠DOC + ∠COB + ∠BOA = 360°.
18. ∠AOD = 148°. ∠BOC = 148°.
19. ∠AOB + ∠AOD = 180° (так как ABD — диаметр).
20. ∠AOB = 180° - 148° = 32°.
21. Угол ACB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB.
22. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу AB, равен ∠AOB = 32°.
23. Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
24. ∠ACB = ∠AOB / 2 = 32° / 2 = 16°.

Ответ: 16