Задача 1: Дано: PE || NK, MP = 8, MN = 12, ME = 6 (рис. 7.55). Найти: а) MK; б) PE : NK; в) $$S_{MPE} : S_{MNK}$$.

**Решение:** a) Рассмотрим треугольники MPE и MNK. Так как PE || NK, то углы MPE и MNK равны (как соответственные углы при параллельных прямых и секущей). Угол M общий для обоих треугольников. Следовательно, треугольники MPE и MNK подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: $$\frac{MP}{MN} = \frac{ME}{MK} = \frac{PE}{NK}$$. Подставим известные значения: $$\frac{8}{12} = \frac{6}{MK}$$. Решим уравнение для MK: $$MK = \frac{6 \cdot 12}{8} = \frac{72}{8} = 9$$. **Ответ:** MK = 9. б) Найдем отношение PE : NK. Для этого используем пропорцию из подобия треугольников: $$\frac{PE}{NK} = \frac{MP}{MN} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$$. **Ответ:** PE : NK = 2 : 3. в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения их соответствующих сторон: $$\frac{S_{MPE}}{S_{MNK}} = \left(\frac{PE}{NK}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$$. **Ответ:** $$S_{MPE} : S_{MNK} = 4 : 9$$. **Разъяснение для школьника:** 1. **Подобие треугольников:** Если у двух треугольников два угла соответственно равны, то такие треугольники подобны. Это позволяет нам утверждать, что их стороны пропорциональны. 2. **Пропорциональность сторон:** Из подобия треугольников MPE и MNK мы записали пропорцию, которая связывает длины их сторон. Эта пропорция позволила нам найти неизвестную длину MK. 3. **Отношение площадей:** Площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон. Это свойство позволило нам найти отношение площадей треугольников MPE и MNK.