Задача 4*: В трапеции ABCD (AD и BC основания) диагонали пересекаются в точке O, $$S_{AOD} = 32$$ см², $$S_{BOC} = 8$$ см². Найдите меньшее основание трапеции, если большее из них равно 10 см.

**Решение:** 1. Рассмотрим треугольники AOD и BOC. Они подобны, так как углы при основании AD и BC равны (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущих AC и BD), и $$\angle AOD = \angle BOC$$ (как вертикальные). 2. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $$\frac{S_{AOD}}{S_{BOC}} = k^2$$, где k – коэффициент подобия. 3. Подставим известные значения: $$\frac{32}{8} = k^2$$, следовательно, $$k^2 = 4$$, и $$k = 2$$. 4. Так как треугольники AOD и BOC подобны с коэффициентом подобия k = 2, то $$\frac{AD}{BC} = 2$$, то есть AD = 2BC. 5. Дано, что большее основание трапеции равно 10 см. Поскольку AD > BC, то AD = 10 см. Тогда BC = $$\frac{AD}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ см. **Ответ:** Меньшее основание трапеции равно 5 см. **Разъяснение для школьника:** 1. **Свойства трапеции:** Важно помнить, что в трапеции основания параллельны, а углы при основаниях (накрест лежащие) равны. 2. **Отношение площадей:** Мы использовали отношение площадей подобных треугольников, чтобы найти коэффициент подобия. Этот коэффициент показывает, во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого. 3. **Определение оснований:** Поскольку нам было дано, что большее основание равно 10 см, а мы нашли отношение оснований, мы смогли определить длину меньшего основания.