Задача 1. Найти главный определитель системы уравнений: 2x-y+z=4, x+3y-z=7, 3x-y+4z=12

Решение:

Главный определитель системы уравнений D находится по коэффициентам при переменных:

\[ D = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 \\ 3 & -1 & 4 \end{vmatrix} \]

Вычислим определитель разложением по первой строке:

\[ D = 2 \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} \]

\[ D = 2(3 \cdot 4 - (-1) \cdot (-1)) + (1 \cdot 4 - (-1) \cdot 3) + (1 \cdot (-1) - 3 \cdot 3) \]

\[ D = 2(12 - 1) + (4 + 3) + (-1 - 9) \]

\[ D = 2(11) + 7 + (-10) \]

\[ D = 22 + 7 - 10 = 19 \]

Ответ: 19