Задача 4. Найти производную функции: у = 3х2 + \(\(\sqrt[3]{x}\) - \(\frac{1}{x}\) + 3

Решение:

Найдём производную функции \( y = 3x^2 + \sqrt[3]{x} - \frac{1}{x} + 3 \).

Перепишем функцию, используя степенные обозначения:

\[ y = 3x^2 + x^{\frac{1}{3}} - x^{-1} + 3 \]

Теперь продифференцируем каждый член по отдельности:

• Производная от \( 3x^2 \): \( (3x^2)' = 3 \cdot 2x = 6x \)
• Производная от \( x^{\frac{1}{3}} \): \( (x^{\frac{1}{3}})' = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3} - 1} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \)
• Производная от \( -x^{-1} \): \( (-x^{-1})' = - (-1)x^{-1 - 1} = x^{-2} = \frac{1}{x^2} \)
• Производная от константы \( 3 \): \( (3)' = 0 \)

Сложим полученные производные:

\[ y' = 6x + \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} + \frac{1}{x^2} \]

Ответ: \( y' = 6x + \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} + \frac{1}{x^2} \)