Задача 2. Даны координаты точек А(-4,3,1), B(1,2,2), C(-2,-4.5). Найти угол между векторами АВ и ВС

Решение:

Сначала найдём векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{BC} \).

Координаты вектора \( \vec{AB} \): \( B - A = (1 - (-4), 2 - 3, 2 - 1) = (5, -1, 1) \).

Координаты вектора \( \vec{BC} \): \( C - B = (-2 - 1, -4.5 - 2, -5 - 2) = (-3, -6.5, -7) \).

Формула для нахождения угла \( \theta \) между двумя векторами:

\[ \cos \theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{BC}}{|\vec{AB}| |\vec{BC}|} \]

Скалярное произведение \( \vec{AB} \cdot \vec{BC} \):

\[ \vec{AB} \cdot \vec{BC} = (5)(-3) + (-1)(-6.5) + (1)(-7) = -15 + 6.5 - 7 = -15.5 \]

Длина вектора \( |\vec{AB}| \):

\[ |\vec{AB}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1 + 1} = \sqrt{27} \]

Длина вектора \( |\vec{BC}| \):

\[ |\vec{BC}| = \sqrt{(-3)^2 + (-6.5)^2 + (-7)^2} = \sqrt{9 + 42.25 + 49} = \sqrt{100.25} \]

Теперь найдём косинус угла:

\[ \cos \theta = \frac{-15.5}{\sqrt{27} \sqrt{100.25}} \approx \frac{-15.5}{5.196 \cdot 10.012} \approx \frac{-15.5}{52.01 \dots} \approx -0.298 \]

Угол \( \theta \) равен арккосинусу этого значения:

\[ \theta = \arccos(-0.298) \approx 107.3^{\circ} \]

Ответ: приблизительно 107.3°