Задача 3. Вычислить пределы функций. a) lim 2x²-11x+5 / x→2 x²-7x+10 ; б) lim arctg3x / x→0 4x

Решение:

a) Предел при \( x \to 2 \) функции \( \frac{2x^2 - 11x + 5}{x^2 - 7x + 10} \)

При подстановке \( x = 2 \) получаем неопределённость вида \( \frac{0}{0} \).

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Для знаменателя \( x^2 - 7x + 10 = 0 \) корни \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = 5 \). Значит, \( x^2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5) \).

Для числителя \( 2x^2 - 11x + 5 \). При \( x = 2 \) значение равно \( 2(4) - 11(2) + 5 = 8 - 22 + 5 = -9 \). Ошибка в условии или в моих расчетах.

Пересчитаем числитель при \( x=2 \): \( 2(2)^2 - 11(2) + 5 = 2(4) - 22 + 5 = 8 - 22 + 5 = -9 \). Знаменатель при \( x=2 \): \( (2)^2 - 7(2) + 10 = 4 - 14 + 10 = 0 \). Это не \( \frac{0}{0} \).

Проверим условие задачи. Похоже, в числителе должно быть что-то другое, чтобы при \( x=2 \) получилось 0.

Если предположить, что числитель имеет корень \( x=2 \), то \( 2(2)^2 - 11(2) + 5 = 8 - 22 + 5 = -9 \). Знаменатель \( 2^2 - 7(2) + 10 = 4 - 14 + 10 = 0 \). Предел будет бесконечным.

Возможно, в задании опечатка, и числитель должен быть таким, чтобы при \( x=2 \) было 0. Например, если бы было \( 2x^2 - 11x + 14 \), то \( 2(4) - 11(2) + 14 = 8 - 22 + 14 = 0 \). Тогда \( 2x^2 - 11x + 14 = (x-2)(2x-7) \).

Примем, что числитель \( 2x^2 - 11x + 14 \).

\[ \lim_{x \to 2} \frac{2x^2 - 11x + 14}{x^2 - 7x + 10} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(2x-7)}{(x-2)(x-5)} = \lim_{x \to 2} \frac{2x-7}{x-5} = \frac{2(2)-7}{2-5} = \frac{4-7}{-3} = \frac{-3}{-3} = 1 \]

Если считать, что в числителе \( 2x^2 - 11x + 5 \), то ответ будет \( \pm \infty \).

б) Предел при \( x \to 0 \) функции \( \frac{\operatorname{arctg}3x}{4x} \)

При подстановке \( x = 0 \) получаем неопределённость вида \( \frac{0}{0} \).

Используем эквивалентную замену: \( \operatorname{arctg}y \sim y \) при \( y \to 0 \). В нашем случае \( y = 3x \).

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{arctg}3x}{4x} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{4x} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \]

Ответ: a) 1 (при условии исправления числителя на \( 2x^2-11x+14 \)); б) \( \frac{3}{4} \)