Задача 5. Вычислить интеграл \( \int (x^4 + √{x^2-7}) dx \)

Решение:

Интеграл \( \int (x^4 + \sqrt{x^2-7}) dx \) может быть разложен на сумму двух интегралов:

\[ \int x^4 dx + \int \sqrt{x^2-7} dx \]

Первый интеграл является табличным:

\[ \int x^4 dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} + C_1 = \frac{x^5}{5} + C_1 \]

Второй интеграл \( \int \sqrt{x^2-7} dx \) является интегралом от гиперболической функции. Для его вычисления можно использовать тригонометрическую или гиперболическую подстановку, или воспользоваться готовой формулой.

Используя формулу для \( \int \sqrt{x^2 - a^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 - a^2} - \frac{a^2}{2} \ln|x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C \), где \( a^2 = 7 \), то есть \( a = \sqrt{7} \):

\[ \int \sqrt{x^2-7} dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 - 7} - \frac{7}{2} \ln|x + \sqrt{x^2 - 7}| + C_2 \]

Объединяя оба результата:

\[ \int (x^4 + \sqrt{x^2-7}) dx = \frac{x^5}{5} + \frac{x}{2}\sqrt{x^2 - 7} - \frac{7}{2} \ln|x + \sqrt{x^2 - 7}| + C \]

где \( C = C_1 + C_2 \).

Ответ: \( \frac{x^5}{5} + \frac{x}{2}\sqrt{x^2 - 7} - \frac{7}{2} \ln|x + \sqrt{x^2 - 7}| + C \)