Задача 1. Положительные числа a, b, c такие, что a + b ≥ ab, b + c ≥ bc, a + c ≥ ac. Докажите, что 4(a + b + c) ≥ 3abc.

Из условий имеем \(ab\le a+b\), \(bc\le b+c\), \(ac\le a+c\).

Умножим эти неравенства соответственно на \(c\), \(a\), \(b\):

\(abc\le ac+bc\), \(abc\le ab+ac\), \(abc\le ab+bc\).

Сложив, получаем \(3abc\le 2(ab+bc+ac)\).

Сложим также исходные неравенства: \(ab+bc+ac\le 2(a+b+c)\). Поэтому \(3abc\le 4(a+b+c)\).

Что и требовалось доказать.