Задача 5. В треугольнике ABC с целочисленными сторонами AC = 2024. Биссектриса ∠BAC пересекает сторону BC в точке D. Оказалось, что AB = CD. Найдите длину стороны BC.

Обозначим \(AB=CD=x\), где \(x\) — целое положительное число. По теореме о биссектрисе \(\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}=\frac{x}{2024}\), поэтому \(BD=\frac{x^2}{2024}\) и \(BC=x+\frac{x^2}{2024}\).

Так как стороны треугольника целые, \(BD=BC-CD\) — целое число. Значит, \(2024\mid x^2\). Разложим число: \(2024=2^3\cdot11\cdot23\). Следовательно, \(x\) делится на \(2^2\cdot11\cdot23=1012\).

По неравенству треугольника \(BC

Тогда \(BC=1012+\frac{1012^2}{2024}=1012+506=1518\).

Ответ: 1518.