Задача 7. Учительница написала на доске число. Вася разделил его на 15, а Петя — на 35. Аня заметила, что у Васи получился куб некоторого натурального числа, а у Пети — пятая степень некоторого натурального числа. Напишите наименьшее такое число, куб которого мог получиться у Васи.

Пусть результат Васи равен \(x^3\), а результат Пети — \(y^5\), где \(x,y\) — натуральные числа. Тогда исходное число можно записать двумя способами: \(15x^3=35y^5\), то есть \(3x^3=7y^5\).

Рассмотрим показатели простых множителей. Для множителя 3 показатель в \(x^3\) должен удовлетворять условию \(1+3u\equiv0\pmod 5\). Наименьшее неотрицательное решение — \(u=3\), поэтому в \(x\) должно быть не менее \(3^3\). Для множителя 7 требуется \(3v\equiv1\pmod 5\); наименьшее решение — \(v=2\), поэтому в \(x\) должно быть не менее \(7^2\). Показатели остальных простых множителей можно взять равными нулю.

Значит, наименьшее возможное основание куба: \(x=3^3\cdot7^2=1323\). Оно достижимо: при \(y=63\) равенство \(3x^3=7y^5\) выполняется.

Ответ: 1323.