Задача 1. В цилиндре проведена параллельно оси плоскость, отсекающая от окружности дугу в 120°. Длина оси равна 5, ее расстояние от секущей плоскости 2. Определите площадь сечения, объем и площадь полной поверхности цилиндра.

Решение:

1. Площадь сечения:

Сечение представляет собой прямоугольник. Одна сторона прямоугольника равна высоте цилиндра (длине оси), которая равна 5.

Другая сторона прямоугольника — хорда окружности основания, которая отсекает дугу в 120°. Для нахождения длины этой хорды, рассмотрим треугольник, образованный двумя радиусами и хордой. Этот треугольник равнобедренный, а угол между радиусами равен 120°.

Чтобы найти длину хорды, можно использовать теорему косинусов, но проще найти высоту, опущенную из центра к хорде. Эта высота делит угол 120° пополам (60°) и хорду пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой R (радиус основания) и катетами, равными половине хорды (a/2) и расстоянию от центра до хорды (2).

Из условия, расстояние от секущей плоскости до оси равно 2. Это означает, что расстояние от центра основания до хорды равно 2.

В прямоугольном треугольнике, где угол равен 60°, прилежащий катет равен 2, а противолежащий катет равен a/2. Тогда \( \tan(60^\text{o}) = \frac{a/2}{2} \). \( a/2 = 2 \tan(60^\text{o}) = 2\[3pt]\times
\sqrt{3} = 2\[3pt]
\sqrt{3} \). Следовательно, длина хорды \( a = 4\[3pt]
\sqrt{3} \).

Площадь сечения (прямоугольника) = длина оси × длина хорды = \( 5 \times 4\[3pt]
\sqrt{3} = 20\[3pt]
\sqrt{3} \) (единиц площади).

2. Объем цилиндра:

Для нахождения объема цилиндра нам нужен радиус основания. В том же прямоугольном треугольнике, который мы рассматривали ранее, у нас есть: прилежащий катет = 2, противолежащий катет = \( 2\[3pt]
\sqrt{3} \), а гипотенуза — радиус основания R.

По теореме Пифагора: \( R^2 = 2^2 + (2\[3pt]
\sqrt{3})^2 = 4 + 12 = 16 \). Значит, \( R = 4 \) (единиц длины).

Объем цилиндра \( V = \pi R^2 h \), где \( h \) — высота цилиндра (длина оси = 5).

\( V = \pi \cdot 4^2 \cdot 5 = \pi \cdot 16 \cdot 5 = 80\pi \) (кубических единиц).

3. Площадь полной поверхности цилиндра:

Площадь полной поверхности цилиндра \( S = 2 \pi R (R + h) \).

\( S = 2 \pi \cdot 4 (4 + 5) = 8 \pi \cdot 9 = 72\pi \) (единиц площади).

Ответ: Площадь сечения равна \( 20\[3pt]
\sqrt{3} \) кв. ед., объем цилиндра равен \( 80\pi \) куб. ед., площадь полной поверхности цилиндра равна \( 72\pi \) кв. ед.