Задача 3. Прямоугольный параллелепипед со сторонами 6 дм и 8 дм и высотой, равной 14 дм, вписан в цилиндр. Найдите радиус основания цилиндра, площадь осевого сечения цилиндра, площадь полной поверхности цилиндра и параллелепипеда.

Решение:

1. Радиус основания цилиндра:

Диагональ основания прямоугольного параллелепипеда равна диаметру основания цилиндра. Основание параллелепипеда — прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Найдем диагональ \( d \) основания по теореме Пифагора: \( d^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \). Значит, \( d = 10 \) дм.

Диаметр основания цилиндра равен \( 10 \) дм. Радиус основания цилиндра \( R = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) дм.

2. Площадь осевого сечения цилиндра:

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник с основанием, равным диаметру цилиндра, и высотой, равной высоте цилиндра.

Диаметр цилиндра = 10 дм. Высота цилиндра = высота параллелепипеда = 14 дм.

Площадь осевого сечения \( S_{ос} = \text{диаметр} \times \text{высота} = 10 \times 14 = 140 \) кв. дм.

3. Площадь полной поверхности цилиндра:

Площадь полной поверхности цилиндра \( S_{цил} = 2π R (R + h) \).

\( S_{цил} = 2π \times 5 (5 + 14) = 10π (19) = 190π \) кв. дм.

4. Площадь полной поверхности параллелепипеда:

Площадь полной поверхности параллелепипеда \( S_{пар} = 2(ab + bc + ac) \), где \( a=6 \) дм, \( b=8 \) дм, \( c=14 \) дм.

\( S_{пар} = 2(6 \times 8 + 8 \times 14 + 6 \times 14) = 2(48 + 112 + 84) = 2(244) = 488 \) кв. дм.

Ответ: Радиус основания цилиндра равен 5 дм, площадь осевого сечения цилиндра равна 140 кв. дм, площадь полной поверхности цилиндра равна \( 190π \) кв. дм, площадь полной поверхности параллелепипеда равна 488 кв. дм.