Задача 2. Радиус основания конуса равен 20 см, образующая - 20,5 см. Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии 1,5 см от его вершины. Найдите радиус полученного сечения, объем и площадь полной поверхности конуса.

Решение:

1. Радиус полученного сечения:

Плоскость, параллельная основанию, отсекает от конуса меньший подобный конус. Отношение радиусов подобных конусов равно отношению их высот.

Найдем высоту большого конуса \( H \) по теореме Пифагора: \( H = \sqrt{l^2 - R^2} \), где \( l = 20.5 \) см, \( R = 20 \) см.

\( H = \sqrt{(20.5)^2 - 20^2} = \sqrt{420.25 - 400} = \sqrt{20.25} = 4.5 \) см.

Высота меньшего конуса \( h \) равна расстоянию от вершины до секущей плоскости, то есть \( h = 1.5 \) см.

Найдем радиус сечения \( r \) по пропорции: \( \frac{r}{R} = \frac{h}{H} \).

\( \frac{r}{20} = \frac{1.5}{4.5} \) \( \rightarrow \) \( r = 20 \times \frac{1.5}{4.5} = 20 \times \frac{1}{3} = \frac{20}{3} \) см.

2. Объем конуса:

Объем большего конуса \( V = \frac{1}{3} π R^2 H \).

\( V = \frac{1}{3} π (20)^2 (4.5) = \frac{1}{3} π (400) (4.5) = π (400) (1.5) = 600π \) куб. см.

3. Площадь полной поверхности конуса:

Площадь полной поверхности большего конуса \( S = π R (R + l) \).

\( S = π (20) (20 + 20.5) = 20π (40.5) = 810π \) кв. см.

Ответ: Радиус сечения равен \( \frac{20}{3} \) см, объем конуса равен \( 600π \) куб. см, площадь полной поверхности конуса равна \( 810π \) кв. см.