Задача 4. Треугольник АВС со сторонами АВ = 41 см, АС = 15 см и ВС = 52 см вращается вокруг прямой, содержащей его большую сторону. Найдите высоты конусов, из которых составлено тело вращения, площадь осевого сечения и площадь полной поверхности тела вращения (рис 1).

Решение:

Большая сторона треугольника — ВС = 52 см. Треугольник вращается вокруг стороны ВС.

Тело вращения состоит из двух конусов с общим основанием.

1. Высоты конусов:

Высоты конусов — это отрезки, на которые высота, опущенная из вершины А на сторону ВС, делит сторону ВС. Обозначим высоту, опущенную из А на ВС, как \( h_a \). Пусть она делит ВС на отрезки \( x \) и \( y \), так что \( x + y = 52 \).

По теореме Пифагора для двух прямоугольных треугольников, образованных высотой:

\( 15^2 = x^2 + h_a^2 \) \( \rightarrow \) \( 225 = x^2 + h_a^2 \)

\( 41^2 = y^2 + h_a^2 \) \( \rightarrow \) \( 1681 = y^2 + h_a^2 \)

Вычтем первое уравнение из второго: \( 1681 - 225 = y^2 - x^2 \) \( \rightarrow \) \( 1456 = (y - x)(y + x) \).

Так как \( y + x = 52 \), то \( 1456 = (y - x) \times 52 \).

\( y - x = \frac{1456}{52} = 28 \).

Теперь у нас есть система уравнений:

\( y + x = 52 \)

\( y - x = 28 \)

Сложим уравнения: \( 2y = 80 \) \( \rightarrow \) \( y = 40 \) см.

Вычтем второе из первого: \( 2x = 24 \) \( \rightarrow \) \( x = 12 \) см.

Итак, высоты конусов равны 12 см и 40 см.

2. Радиус общего основания конусов (радиус сечения):

Радиус общего основания — это длина высоты \( h_a \). Найдем \( h_a^2 \) из первого уравнения: \( h_a^2 = 225 - x^2 = 225 - 12^2 = 225 - 144 = 81 \).

\( h_a = \[3pt]
\sqrt{81} = 9 \) см. Радиус общего основания равен 9 см.

3. Площадь полной поверхности тела вращения:

Площадь полной поверхности тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов.

Площадь боковой поверхности конуса \( S = πrl \), где \( r \) — радиус основания, \( l \) — образующая.

Для первого конуса: \( r = 9 \) см, \( l_1 = 15 \) см.

\( S_1 = π \times 9 \times 15 = 135π \) кв. см.

Для второго конуса: \( r = 9 \) см, \( l_2 = 41 \) см.

\( S_2 = π \times 9 \times 41 = 369π \) кв. см.

Общая площадь полной поверхности \( S_{полн} = S_1 + S_2 = 135π + 369π = 504π \) кв. см.

4. Площадь осевого сечения:

Осевое сечение данного тела вращения — это треугольник АВС, который был задан в условии. Площадь треугольника АВС можно найти по формуле Герона или по формуле \( S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \).

Используем формулу \( S = \frac{1}{2} \times BC \times h_a \).

\( S = \frac{1}{2} \times 52 \times 9 = 26 \times 9 = 234 \) кв. см.

Ответ: Высоты конусов равны 12 см и 40 см, радиус общего основания равен 9 см, площадь полной поверхности тела вращения равна \( 504π \) кв. см, площадь осевого сечения равна 234 кв. см.