Задача 5. Тело получено при вращении ромба со стороной 18 см и углом 60° вокруг стороны. Найдите расстояние от его образующей до оси вращения, высоты получившихся конуса и цилиндра, площадь полной поверхности тела вращения (рис 2).

Решение:

Ромб вращается вокруг своей стороны. Пусть сторона ромба — \( a = 18 \) см. Угол ромба — 60°.

Тело вращения будет состоять из цилиндра и двух конусов, присоединенных к его основаниям.

1. Расстояние от образующей до оси вращения:

Ось вращения — одна из сторон ромба. Расстояние от другой стороны ромба до оси вращения — это высота, проведенная к этой стороне. Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и диагональю, соединяющей вершины углов 60° и 120°. В этом треугольнике две стороны равны 18 см, а угол между ними 60°. Это равносторонний треугольник, значит, его третья сторона (меньшая диагональ ромба) тоже равна 18 см.

Большая диагональ ромба делит углы пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный стороной ромба (18 см), половиной меньшей диагонали (9 см) и половиной большей диагонали.

Найдем половину большей диагонали \( d_2/2 \): \( (d_2/2)^2 = 18^2 - 9^2 = 324 - 81 = 243 \). \( d_2/2 = \sqrt{243} = 9\[3pt]
\sqrt{3} \) см. Большая диагональ \( d_2 = 18\[3pt]
\sqrt{3} \) см.

Высота ромба, опущенная на сторону, к которой он вращается, является радиусом основания цилиндра и конусов. Рассмотрим треугольник, образованный стороной ромба (18 см) и меньшей диагональю, разделенной пополам (9 см). Это прямоугольный треугольник, где гипотенуза — сторона ромба, один катет — половина меньшей диагонали. Другой катет — это высота, опущенная на сторону вращения.

Однако, если ромб вращается вокруг стороны, то другая сторона, параллельная стороне вращения, будет создавать поверхность вращения, которая является частью тела. Высота ромба, опущенная на сторону вращения, является радиусом основания цилиндра и конусов.

Рассмотрим ромб. Его стороны по 18 см, углы 60° и 120°. Если вращать вокруг стороны, то другая сторона, параллельная оси, создает цилиндр. Высота этого цилиндра равна стороне ромба (18 см). Радиус цилиндра — это высота ромба, опущенная на сторону вращения. В треугольнике с углом 60° и гипотенузой 18, противолежащий катет (высота) равен \( 18 \times \[3pt]
\text{sin}(60^\text{o}) = 18 \times \frac{\[3pt]
√{3}}{2} = 9\[3pt]
√{3} \) см. Это радиус цилиндра.

Вторая сторона ромба, не параллельная оси вращения, также создает поверхность. Эта поверхность — боковая поверхность двух конусов. Две другие стороны ромба, которые сходятся в вершине, будут образовывать боковые поверхности конусов. Образующие этих конусов — это стороны ромба, которые не лежат на оси вращения, т.е. 18 см.

2. Высоты конуса и цилиндра:

Высота цилиндра равна стороне ромба, вокруг которой он вращается, то есть 18 см.

Высоты конусов — это отрезки, на которые высота ромба делит сторону вращения. В данном случае, когда ромб вращается вокруг стороны, само тело представляет собой цилиндр, и две другие стороны ромба, как бы