Задача 10: В прямоугольном треугольнике катет CD равен 24 см, а прилежащий к нему угол равен 30°. Найдите гипотенузу и другой катет.

Решение задачи 10

Дано: \( \triangle CDE \) — прямоугольный, \( \angle D = 90^\circ \), \( CD = 24 \) см, \( \angle CDE = 30^\circ \). (Предполагается, что на чертеже угол при вершине D равен 30°, и CD — гипотенуза).

Найти: \( CE \), \( DE \).

Примечание: На чертеже обозначение углов и сторон может быть неоднозначным. Будем считать, что \( \angle CED = 30^\circ \) и \( CD \) — катет, а \( CE \) — гипотенуза. На чертеже также есть обозначение \( 30^\circ \) у угла \( \angle CDE \). Если \( \angle CDE = 30^\circ \) и \( \angle D = 90^\circ \), то это противоречие. Пойдём по наиболее вероятной трактовке: \( \angle D=90^\circ \), \( CD = 24 \) см — катет, \( \angle CDE = 30^\circ \) — угол, прилежащий к катету \( CD \).

1. Найдем гипотенузу \( CE \): \( \cos(\angle CDE) = \frac{CD}{CE} \) \( \cos(30^\circ) = \frac{24}{CE} \) \( CE = \frac{24}{\cos(30^\circ)} = \frac{24}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{48}{\sqrt{3}} = \frac{48\sqrt{3}}{3} = 16\sqrt{3} \) см.
2. Найдем катет \( DE \): \( \tan(\angle CDE) = \frac{DE}{CD} \) \( \tan(30^\circ) = \frac{DE}{24} \) \( DE = 24 \cdot \tan(30^\circ) = 24 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} \) см.

Ответ: \( CE = 16\sqrt{3} \) см, \( DE = 8\sqrt{3} \) см.