Задача 7: В прямоугольном треугольнике катеты равны 8 см и 16 см. Найдите гипотенузу и острые углы.

Решение задачи 7

Дано: \( \triangle ABC \) — прямоугольный, \( \angle C = 90^\circ \), \( AC = 8 \) см, \( BC = 16 \) см.

Найти: \( AB \), \( \angle A \), \( \angle B \).

1. Найдем гипотенузу \( AB \) по теореме Пифагора: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \) \( AB^2 = 8^2 + 16^2 = 64 + 256 = 320 \) \( AB = \sqrt{320} = \sqrt{64 \cdot 5} = 8\sqrt{5} \) см.
2. Найдем \( \angle A \): \( \tan(\angle A) = \frac{BC}{AC} = \frac{16}{8} = 2 \). \( \angle A = \arctan(2) \approx 63.43^\circ \).
3. Найдем \( \angle B \): \( \angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 63.43^\circ = 26.57^\circ \).

Ответ: \( AB = 8\sqrt{5} \) см, \( \angle A \approx 63.43^\circ \), \( \angle B \approx 26.57^\circ \).