Задача 12. Решите задачу и запишите ответ. В ромбе ABCD AB = 2, AC = √7. Найдите синус угла BAC.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной ромба, гипотенуза равна 2, а половина AC равна \(\frac{\sqrt7}{2}\). Поэтому половина второй диагонали равна:

\(\sqrt{2^2-\left(\frac{\sqrt7}{2}\right)^2}=\sqrt{4-\frac74}=\frac32\).

Диагональ AC делит угол A пополам. Для половины угла BAC в этом прямоугольном треугольнике:

\(\sin\frac{\angle BAC}{2}=\frac{3/2}{2}=\frac34\), \(\cos\frac{\angle BAC}{2}=\frac{\sqrt7/2}{2}=\frac{\sqrt7}{4}\).

По формуле синуса двойного угла:

\(\sin\angle BAC=2\sin\frac{\angle BAC}{2}\cos\frac{\angle BAC}{2}=2\cdot\frac34\cdot\frac{\sqrt7}{4}=\frac{3\sqrt7}{8}\).

Ответ: \(\frac{3\sqrt7}{8}\).