Задача 2. Один из углов равнобедренной трапеции равен 115°. Найдите остальные углы трапеции.

Задание 2. Равнобедренная трапеция

Дано:

• Равнобедренная трапеция.
• Один из углов равен \( 115^\circ \).

Найти: остальные углы трапеции.

Решение:

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Также сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180°.

Есть два случая:

1. Случай 1: Данный угол является тупым углом при одном из оснований.
2. Пусть \( ∠ A = 115^\circ \).
3. Так как трапеция равнобедренная, то углы при основании равны: \( ∠ B = ∠ A = 115^\circ \).
4. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне (например, AD), равна 180°: \( ∠ A + ∠ D = 180^\circ \)
5. \( ∠ D = 180^\circ - ∠ A = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ \).
6. Углы при другом основании равны: \( ∠ C = ∠ D = 65^\circ \).
7. Таким образом, углы трапеции: \( 115^\circ, 115^\circ, 65^\circ, 65^\circ \).
8. Случай 2: Данный угол является острым углом при одном из оснований.
9. Пусть \( ∠ A = 115^\circ \). Если бы этот угол был острым, то это противоречило бы условию. Поэтому данный угол обязательно является тупым.
10. *Важно:* В равнобедренной трапеции не может быть четырех одинаковых углов, поэтому углы при одном основании должны отличаться от углов при другом.
11. Так как \( 115^\circ \) - это тупой угол, он должен быть углом при одном из оснований. Углы при этом основании будут равны \( 115^\circ \).
12. Углы при другом основании будут острыми и равными \( 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ \).

Ответ: Углы трапеции равны 115°, 115°, 65°, 65°.