Задача 4. Стороны параллелограмма равны 8 см и 3 см. Биссектрисы двух углов параллелограмма, прилежащих к большей стороне, делят противолежащую сторону на три отрезка. Определите длины этих отрезков.

Задание 4. Параллелограмм

Дано:

• Параллелограмм ABCD.
• Стороны: \( AB = CD = 3 \) см, \( BC = AD = 8 \) см.
• Биссектрисы углов, прилежащих к большей стороне (например, к AD), делят эту сторону на три отрезка.

Найти: длины отрезков, на которые биссектрисы делят сторону AD.

Решение:

1. Пусть биссектриса угла A пересекает сторону CD в точке K, а биссектриса угла B пересекает сторону CD в точке M. Рассмотрим биссектрису угла A. Она делит сторону BC на три отрезка. Аналогично для биссектрисы угла B.
2. По свойству параллелограмма: \( AB Ⅰ CD \) и \( BC Ⅰ AD \).
3. Рассмотрим биссектрису угла A, которая является биссектрисой угла \( ∠ DAB \). Пусть она пересекает сторону BC в точке E.
4. Так как AE - биссектриса, то \( ∠ BAE = ∠ DAE \).
5. Так как \( BC Ⅰ AD \), то \( ∠ BAE = ∠ AEB \) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AE).
6. Из равенств \( ∠ BAE = ∠ DAE \) и \( ∠ BAE = ∠ AEB \) следует, что \( ∠ DAE = ∠ AEB \).
7. Это означает, что треугольник ABE равнобедренный с основанием AB. Следовательно, \( BE = AB = 3 \) см.
8. Аналогично, рассмотрим биссектрису угла B, которая пересекает сторону AD в точке F.
9. \( ∠ ABC \) - угол параллелограмма. BF - биссектриса \( ∠ ABC \). \( AB Ⅰ CD \), \( BC Ⅰ AD \).
10. \( ∠ ABF = ∠ CBF \).
11. \( ∠ CBF = ∠ AFB \) (как накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей BF).
12. Следовательно, \( ∠ ABF = ∠ AFB \). Треугольник ABF равнобедренный с основанием AB.
13. \( AF = AB = 3 \) см.
14. Теперь найдем длину отрезка EF на стороне AD.
15. \( AD = AF + FE \)
16. \( 8 = 3 + FE \)
17. \( FE = 8 - 3 = 5 \) см.
18. Получили отрезки AF, FE. Но задача говорит о делении противолежащей стороны на три отрезка. Изначально биссектрисы проведены из углов, прилежащих к большей стороне, то есть из углов A и D (или B и C).
19. Переформулируем: Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD (где AD=8, AB=3) пересекают сторону BC.
20. Биссектриса угла A пересекает BC в точке E. Мы уже выяснили, что \( BE = AB = 3 \) см.
21. Биссектриса угла D пересекает BC в точке H.
22. \( ∠ ADB = ∠ BDA \).
23. \( ∠ ADB = ∠ BHD \) (как накрест лежащие при AD || BC и секущей DH).
24. Следовательно, \( ∠ BDA = ∠ BHD \). Треугольник BDH равнобедренный с основанием BH.
25. \( BH = DH \). Это не совсем то, что нам нужно.
26. Давайте вернемся к формулировке: Биссектрисы двух углов параллелограмма, прилежащих к большей стороне (AD=8), делят противолежащую сторону (BC=8) на три отрезка.
27. Биссектриса угла A делит BC на отрезки BE и EC. Мы выяснили, что \( BE = AB = 3 \) см.
28. Тогда \( EC = BC - BE = 8 - 3 = 5 \) см.
29. Биссектриса угла D делит BC на отрезки BH и HC.
30. \( ∠ ADC \). DH - биссектриса. \( ∠ ADH = ∠ CDH \).
31. \( AD Ⅰ BC \), \( ∠ ADH = ∠ DHC \) (накрест лежащие).
32. Значит, \( ∠ CDH = ∠ DHC \). Треугольник DHC равнобедренный с основанием DC.
33. \( HC = DC = 3 \) см.
34. Теперь проверим, действительно ли эти биссектрисы делят сторону BC на три отрезка.
35. Мы получили отрезки BE, EH, HC.
36. \( BE = 3 \) см.
37. \( HC = 3 \) см.
38. \( BC = BE + EH + HC \)
39. \( 8 = 3 + EH + 3 \)
40. \( 8 = 6 + EH \)
41. \( EH = 8 - 6 = 2 \) см.
42. Таким образом, биссектрисы углов A и D делят сторону BC на отрезки длиной 3 см, 2 см и 3 см.

Ответ: Длины отрезков равны 3 см, 2 см и 3 см.