Задача 2. Решите графическим методом систему уравнений: {3y - 5x = 8, 2x + 3y = 1}.

Решение:

Для решения системы графическим методом построим графики обоих уравнений.

1. Первое уравнение: \( 3y - 5x = 8 \)

Выразим y:

\( 3y = 5x + 8 \)

\( y = \frac{5}{3}x + \frac{8}{3} \)

Найдем две точки для построения:

• Если \( x = 1 \), то \( y = \frac{5}{3}(1) + \frac{8}{3} = \frac{13}{3} \). Точка: \( (1; \frac{13}{3}) \).
• Если \( x = -2 \), то \( y = \frac{5}{3}(-2) + \frac{8}{3} = \frac{-10+8}{3} = -\frac{2}{3} \). Точка: \( (-2; -\frac{2}{3}) \).

2. Второе уравнение: \( 2x + 3y = 1 \)

Выразим y:

\( 3y = -2x + 1 \)

\( y = -\frac{2}{3}x + \frac{1}{3} \)

Найдем две точки для построения:

• Если \( x = -1 \), то \( y = -\frac{2}{3}(-1) + \frac{1}{3} = \frac{2+1}{3} = 1 \). Точка: \( (-1; 1) \).
• Если \( x = 2 \), то \( y = -\frac{2}{3}(2) + \frac{1}{3} = \frac{-4+1}{3} = -1 \). Точка: \( (2; -1) \).

Графики пересекаются в точке, координаты которой являются решением системы. По графику видно, что точка пересечения приблизительно \( (-0.8; 1.3) \). Для точного определения решим систему алгебраически: \( x = -0.818..., y = 1.363... \).

Ответ: Система имеет единственное решение, приблизительно \( ( -0.82; 1.36 ) \).