Задача 4. Определите количество решений системы и взаимное расположение прямых, заданных её уравнениями:

Решение:

Определим количество решений системы, сравнив коэффициенты уравнений.

а) \( \begin{cases} x - 4y = -8 \\ 3x - 12y = 12 \end{cases} \)

Приведём первое уравнение к виду \( y = kx + b \):

\( -4y = -x - 8 \)

\( y = \frac{1}{4}x + 2 \)

Приведём второе уравнение к виду \( y = kx + b \):

\( -12y = -3x + 12 \)

\( y = \frac{-3}{-12}x + \frac{12}{-12} \)

\( y = \frac{1}{4}x - 1 \)

Угловые коэффициенты равны (\( k = \frac{1}{4} \)), а свободные члены разные (\( b_1 = 2 \), \( b_2 = -1 \)). Следовательно, прямые параллельны и система не имеет решений.

б) \( \begin{cases} 4x + 2y = 1 \\ 6x + 3y = 6 \end{cases} \)

Приведём первое уравнение к виду \( y = kx + b \):

\( 2y = -4x + 1 \)

\( y = -2x + \frac{1}{2} \)

Приведём второе уравнение к виду \( y = kx + b \):

\( 3y = -6x + 6 \)

\( y = -2x + 2 \)

Угловые коэффициенты равны (\( k = -2 \)), а свободные члены разные (\( b_1 = \frac{1}{2} \), \( b_2 = 2 \)). Следовательно, прямые параллельны и система не имеет решений.

в) \( \begin{cases} 6x + 3y = 3 \\ x + 0,5y = 0,5 \end{cases} \)

Приведём первое уравнение к виду \( y = kx + b \):

\( 3y = -6x + 3 \)

\( y = -2x + 1 \)

Приведём второе уравнение к виду \( y = kx + b \):

\( 0,5y = -x + 0,5 \)

\( y = -2x + 1 \)

Угловые коэффициенты равны (\( k = -2 \)) и свободные члены равны (\( b = 1 \)). Следовательно, прямые совпадают, и система имеет бесконечно много решений.

Ответ: а) Система не имеет решений, прямые параллельны; б) Система не имеет решений, прямые параллельны; в) Система имеет бесконечно много решений, прямые совпадают.