Задача 5. Определите количество решений системы уравнений в зависимости от параметра а.

Решение:

Рассмотрим систему уравнений:

\( \begin{cases} 7x - 5y = 9 \\ 15y - 21x = a \end{cases} \)

Чтобы определить количество решений, приведём оба уравнения к виду \( y = kx + b \).

1. Первое уравнение: \( 7x - 5y = 9 \)

\( -5y = -7x + 9 \)

\( y = \frac{7}{5}x - \frac{9}{5} \)

Здесь \( k_1 = \frac{7}{5} \) и \( b_1 = -\frac{9}{5} \).

2. Второе уравнение: \( 15y - 21x = a \)

\( 15y = 21x + a \)

\( y = \frac{21}{15}x + \frac{a}{15} \)

Упростим коэффициент при x:

\( y = \frac{7}{5}x + \frac{a}{15} \)

Здесь \( k_2 = \frac{7}{5} \) и \( b_2 = \frac{a}{15} \).

Сравним угловые коэффициенты и свободные члены:

• Угловые коэффициенты равны: \( k_1 = k_2 = \frac{7}{5} \). Это означает, что прямые параллельны или совпадают.
• Для того чтобы система имела бесконечно много решений, прямые должны совпадать, то есть свободные члены также должны быть равны: \( b_1 = b_2 \)

\( -\frac{9}{5} = \frac{a}{15} \)

Умножим обе части на 15:

\( -9 \times 3 = a \)

\( a = -27 \)

Если \( a = -27 \), система имеет бесконечно много решений.

• Если \( a \neq -27 \), то свободные члены не равны, а угловые коэффициенты равны. В этом случае прямые параллельны и не пересекаются, следовательно, система не имеет решений.

Ответ: Если \( a = -27 \), система имеет бесконечно много решений. Если \( a \neq -27 \), система не имеет решений.