Задача 2: В разных полуплоскостях относительно прямой AB расположены точки M и N. Докажите, что AM || BN, если известно, что AM = BN, AN = BM.

**Доказательство:** 1. Рассмотрим треугольники \(\triangle AMB\) и \(\triangle BNA\). 2. В этих треугольниках: * \(AM = BN\) (по условию), * \(AN = BM\) (по условию), * Сторона AB - общая. 3. Следовательно, \(\triangle AMB = \triangle BNA\) по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). 4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: \(\angle MAB = \angle NBA\) и \(\angle MBA = \angle NAB\). 5. Рассмотрим прямую AB как секущую для прямых AM и BN. Углы \(\angle MAB\) и \(\angle NBA\) - это внутренние накрест лежащие углы. 6. Поскольку внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые AM и BN параллельны. Значит, AM || BN. **Развернутый ответ для школьника:** Представь, что у нас есть две точки M и N по разные стороны от линии AB. Нам нужно доказать, что если AM = BN и AN = BM, то линии AM и BN идут параллельно друг другу. Мы можем представить это как два треугольника, соединенные вместе (треугольники AMB и BNA). В этих треугольниках три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого. Если треугольники одинаковы, то и углы у них одинаковые. Рассмотрим углы MAB и NBA. Если эти углы равны, а они расположены как «внутренние накрест лежащие», то прямые AM и BN точно параллельны! Это как смотреть на буквы Z или N – если углы по углам этих букв равны, то линии этих букв параллельны.