Задача 3. Доказать, что если $a>0$, $a\ne1$, $b>0$ и $k\ne0$, то $\log_{a^k}b=\frac{1}{k}\log_ab$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Задача 3. Доказать, что если $a>0$, $a\ne1$, $b>0$ и $k\ne0$, то $\log_{a^k}b=\frac{1}{k}\log_ab$.$ Фото задания

Accepted Answer

Пусть $x=\log_{a^k}b$. По определению логарифма $b=(a^k)^x=a^{kx}$, поэтому $\log_ab=kx$.

Подставляя $x=\log_{a^k}b$, получаем $\log_ab=k\log_{a^k}b$. Делим обе части на $k$, что допустимо, поскольку $k\ne0$:

\[\log_{a^k}b=\frac{1}{k}\log_ab.\]

Задача 3. Доказать, что если \(a>0\), \(a\ne1\), \(b>0\) и \(k\ne0\), то \(\log_{a^k}b=\frac{1}{k}\log_ab\).