Задача 3. Докажите тождество: 1) 3a² + 10a + 3 = 3(a + 3)(a + 1/3); 2) (a + 1)(a² + 5a + 6) = (a² + 3a + 2)(a + 3); 3) (a + 1)(a⁴ − a³ + a² − a + 1) = a⁵ + 1.

Раскроем скобки в правой части:

\(3(a+3)(a+\frac13)=3(a^2+\frac{10}{3}a+1)=3a^2+10a+3\).

Получили левую часть, поэтому тождество доказано.

Раскроем скобки слева:

\((a+1)(a^2+5a+6)=a^3+6a^2+11a+6\).

Раскроем скобки справа:

\((a^2+3a+2)(a+3)=a^3+6a^2+11a+6\).

Обе части равны одному выражению, значит тождество доказано.

Раскроем скобки:

\((a+1)(a^4-a^3+a^2-a+1)=a^5-a^4+a^3-a^2+a+a^4-a^3+a^2-a+1\).

Противоположные слагаемые сокращаются; остаётся \(a^5+1\), что равно правой части. Тождество доказано.