Задача 5. При всех ли натуральных значениях n значение выражения (n + 29)(n + 3) − (n + 7)(n + 1) кратно 8?

Раскроем скобки и вычтем второе произведение:

\((n+29)(n+3)-(n+7)(n+1)=n^2+32n+87-(n^2+8n+7)\).

После приведения подобных слагаемых получаем \(24n+80=8(3n+10)\).

Выражение представлено как произведение 8 на целое число. Поэтому оно кратно 8 при любом натуральном \(n\).

Ответ: да, при всех натуральных значениях \(n\).