Задача 3. Шар сталкивается с другим покоящимся шаром такой же массы. Докажите, что в случае упругого, но не центрального удара угол между направлениями скоростей после удара составляет π/2.

Пусть до удара первый шар имел скорость v⃗₀, а после удара скорости шаров равны v⃗₁ и v⃗₂. Массы шаров одинаковы и равны m.

1. По закону сохранения импульса: mv⃗₀ = mv⃗₁ + mv⃗₂, то есть v⃗₀ = v⃗₁ + v⃗₂.

2. Удар упругий, поэтому сохраняется кинетическая энергия: mv₀²/2 = mv₁²/2 + mv₂²/2, или v₀² = v₁² + v₂².

3. Возведём равенство импульсов в квадрат: v₀² = (v⃗₁ + v⃗₂)² = v₁² + v₂² + 2(v⃗₁ · v⃗₂).

4. Сравнение с законом сохранения энергии даёт v⃗₁ · v⃗₂ = 0. Следовательно, скорости после удара перпендикулярны.

Угол между направлениями скоростей после удара равен π/2.