Задача 3 (средняя). Дан параллелепипед ABCD A₁B₁C₁D₁. Точка K — середина ребра AA₁. Докажите, что прямая B₁K параллельна плоскости ACD₁. Указание: рассмотрите треугольник AA₁C и проведите в нём среднюю линию. Покажите, что B₁K параллельна прямой, лежащей в плоскости ACD₁.

1. В параллелепипеде противоположные грани параллельны и равны, поэтому векторно \(\overrightarrow{B_1A_1}=\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AD}\).
2. Рассмотрим треугольник AA₁C. Так как K — середина AA₁, а в параллелепипеде диагональ AC можно выразить через рёбра, из указанной конструкции следует, что заданное в подсказке утверждение о средней линии относится к отрезку, параллельному B₁K только при дополнительных отношениях, которых здесь нет.
3. Проверим утверждение координатами. Пусть A=0, B=u, D=v, A₁=w; тогда C=u+v и B₁=u+w, K=w/2. Направляющий вектор B₁K равен \(w/2-u\). Плоскость ACD₁ натянута на векторы u+v и v+w. В общем случае вектор w/2−u не является их линейной комбинацией, следовательно, прямая B₁K не параллельна этой плоскости для произвольного параллелепипеда.

В условии, вероятно, есть ошибка в обозначении точки или плоскости: указанное утверждение неверно для произвольного параллелепипеда. Например, при u=(1,0,0), v=(0,1,0), w=(0,0,1) вектор B₁K=(-1,0,1/2), тогда как плоскость ACD₁ задаётся векторами (1,1,0) и (0,1,1), и этот вектор не параллелен ей.

Доказать утверждение в данном виде нельзя: оно неверно для произвольного параллелепипеда.