Задача 4 (средняя). В четырёхугольной пирамиде SABCD основание ABCD — параллелограмм. Точка M — середина ребра SB. Докажите, что прямая AM параллельна плоскости SDC. Указание: проведите через точку M прямую, параллельную BC, до пересечения с SC. Используйте свойства параллелограмма и средней линии треугольника.

1. Проведём через M прямую, параллельную BC, и обозначим её пересечение с SC через N.
2. В треугольнике SBC точка M — середина SB, а MN ∥ BC. По теореме о средней линии N — середина SC.
3. В параллелограмме ABCD противоположные стороны параллельны, поэтому AD ∥ BC. Следовательно, MN ∥ AD.
4. Четырёхугольник AMND имеет AM и DN как диагонали; для доказательства нужного параллелизма используем плоскость SDC: отрезок DN лежит в ней, поскольку D и N принадлежат этой плоскости, а по построению DN ∥ AM. Действительно, в треугольнике SBC установлено только MN ∥ BC, поэтому это построение не даёт DN ∥ AM. Кроме того, само утверждение проверкой координат не подтверждается в общем случае.

Проверка: зададим A=0, B=u, D=v, C=u+v и вершину S=s. Тогда M=(s+u)/2, а направляющий вектор AM=(s+u)/2. Плоскость SDC натянута на векторы v−s и u+v−s. В общем случае AM не параллелен этой плоскости. Значит, утверждение при данных условиях неверно; для доказательства необходимы дополнительные условия либо исправление формулировки.

В данном виде утверждение неверно для произвольной пирамиды с параллелограммным основанием.