Задача 3. Треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC (AB = BC). На боковых сторонах AB и BC отмечены точки M и N соответственно так, что AM = CN. Отрезки AN и CM пересекаются в точке K. Известно, что AK = CK. Доказать: △AMK = △CNK.

Так как AB = BC и AM = CN, то BM = AB − AM и BN = BC − CN, следовательно, BM = BN.

Треугольник ABC равнобедренный, поэтому ось его симметрии проходит через вершину B и середину основания AC. При отражении относительно этой оси точки A и C переходят друг в друга, а M и N — друг в друга, поскольку BM = BN. Значит, отрезки AN и CM также переходят друг в друга, а их точка пересечения K лежит на оси симметрии.

Следовательно, AK = CK, MK = NK, а по условию AM = CN. Таким образом, в треугольниках AMK и CNK соответственно равны все три стороны; треугольники равны по трём сторонам.

Доказано: △AMK = △CNK.