Задача 3: В прямоугольном треугольнике острый угол равен 60°. Расстояние между основанием высоты, проведённой к гипотенузе, и вершиной данного острого угла равно 6 см. Найдите расстояние между основанием высоты и вершиной другого острого угла данного треугольника.

Дано: Прямоугольный треугольник ABC (∠C = 90°), ∠A = 60°, CH - высота, AH = 6 см. Найти: HB. Решение: 1. ∠B = 90° - ∠A = 90° - 60° = 30°. 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. ∠ACH = 90° - ∠A = 90° - 60° = 30°. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCH. ∠BCH = 90° - ∠B = 90° - 30° = 60°. 4. Рассмотрим треугольник ABC. cos(A) = AH/AC -> AC = AH / cos(A) = 6 / cos(60) = 6 / 0.5 = 12 5. cos(B) = BH/BC -> BH = BC * cos(B) 6. AH/HC = HC/HB -> HC^2 = AH * HB = 6 * HB 7. cos(30) = sqrt(3)/2 = HC/AC -> HC = AC * cos(30) = 12 * sqrt(3)/2 = 6 * sqrt(3) 8. HC^2 = (6 * sqrt(3))^2 = 36 * 3 = 108 = 6 * HB 9. HB = 108/6 = 18 Ответ: Расстояние между основанием высоты и вершиной другого острого угла равно 18 см.