Задача 4*: В треугольнике ABC <C = 60°. На стороне AC отмечена точка D так, что <BDC = 60°, <ABD = 30°, CD = 5 см. Найдите AC и расстояние от точки D до стороны AB.

Дано: Треугольник ABC, ∠C = 60°, ∠BDC = 60°, ∠ABD = 30°, CD = 5 см. Найти: AC, расстояние от точки D до стороны AB. Решение: 1. ∠ADB = 180° - ∠BDC = 180° - 60° = 120°. 2. В треугольнике ABD: ∠BAD = 180° - ∠ABD - ∠ADB = 180° - 30° - 120° = 30°. Значит, треугольник ABD равнобедренный, AD = BD. 3. В треугольнике BCD: ∠DBC = 180° - ∠BDC - ∠C = 180° - 60° - 60° = 60°. Значит, треугольник BCD равносторонний, BD = CD = BC = 5 см. 4. Так как AD = BD, то AD = 5 см. 5. AC = AD + DC = 5 + 5 = 10 см. 6. Пусть DE - перпендикуляр из точки D на сторону AB. Тогда DE - искомое расстояние от точки D до стороны AB. Рассмотрим прямоугольный треугольник BDE. sin(∠DBA)=DE/BD DE=BD*sin(∠DBA). Т.к. ∠DBA=30°, sin(30)=1/2. DE=5*1/2 = 2.5 см. Ответ: AC = 10 см, расстояние от точки D до стороны AB равно 2.5 см.