Задача 3. В треугольнике JKL угол L = 45°, стороны JK = 10 см и KL = 6√2 см. Найдите площадь треугольника.

Сторона JK лежит напротив угла L. По теореме синусов:

sin J / KL = sin L / JK, поэтому sin J = (6√2 · sin 45°) / 10 = 3/5.

Угол J не может быть тупым, поскольку тогда сумма углов J и L превысила бы 180°. Поэтому cos J = 4/5.

Найдём sin K, поскольку стороны JK и KL образуют угол K. Так как K = 180° − J − L, то sin K = sin(J + L):

sin K = sin J · cos L + cos J · sin L = (3/5)(√2/2) + (4/5)(√2/2) = 7√2/10.

Площадь треугольника:

S = (1/2) · JK · KL · sin K = (1/2) · 10 · 6√2 · 7√2/10 = 42 см².

Ответ: 42 см².