Задача 3. Вычислите: а) $\frac{a+3b}{a^2-9b^2}+\frac{a-3b}{a^2+3ab}$; б) $\frac{(a-b)(a+b)}{a^2+ab}-\frac{a-b}{a}$; в) $\left(\frac{m}{m-4}-\frac{m}{m+4}\right):\frac{m+4}{m}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Задача 3. Вычислите: а) $\frac{a+3b}{a^2-9b^2}+\frac{a-3b}{a^2+3ab}$; б) $\frac{(a-b)(a+b)}{a^2+ab}-\frac{a-b}{a}$; в)…$ Фото задания

Задача 3. Вычислите: а) $\frac{a+3b}{a^2-9b^2}+\frac{a-3b}{a^2+3ab}$; б) $\frac{(a-b)(a+b)}{a^2+ab}-\frac{a-b}{a}$; в) $\left(\frac{m}{m-4}-\frac{m}{m+4}\right):\frac{m+4}{m}$.

Accepted Answer

а) Разложим знаменатели на множители:

\[a^2-9b^2=(a-3b)(a+3b),\qquad a^2+3ab=a(a+3b).\]

Сократим дроби и сложим:

\[\frac{a+3b}{(a-3b)(a+3b)}+\frac{a-3b}{a(a+3b)}=\frac1{a-3b}+\frac{a-3b}{a(a+3b)}.\]

Общий знаменатель — $a(a-3b)(a+3b)$. Тогда

\[\frac{a(a+3b)+(a-3b)^2}{a(a-3b)(a+3b)}=\frac{2a^2-3ab+9b^2}{a(a^2-9b^2)}.\]

б) Сократим первую дробь, затем приведём к общему знаменателю:

\[\frac{(a-b)(a+b)}{a(a+b)}-\frac{a-b}{a}=\frac{a-b}{a}-\frac{a-b}{a}=0.\]

в) Сначала вычислим разность в скобках:

\[\frac{m}{m-4}-\frac{m}{m+4}=\frac{m(m+4)-m(m-4)}{(m-4)(m+4)}=\frac{8m}{m^2-16}.\]

Деление заменим умножением на обратную дробь и сократим:

\[\frac{8m}{m^2-16}:\frac{m+4}{m}=\frac{8m}{(m-4)(m+4)}\cdot\frac{m}{m+4}=\frac{8m^2}{(m-4)(m+4)^2}.\]

Во всём пункте в) необходимо $m\ne4,-4,0$.

Ответ: а) $\frac{2a^2-3ab+9b^2}{a(a^2-9b^2)}$; б) $0$; в) $\frac{8m^2}{(m-4)(m+4)^2}$, при $m\ne-4,0,4$.

Задача 3. Вычислите: а) \(\frac{a+3b}{a^2-9b^2}+\frac{a-3b}{a^2+3ab}\); б) \(\frac{(a-b)(a+b)}{a^2+ab}-\frac{a-b}{a}\); в) \(\left(\frac{m}{m-4}-\frac{m}{m+4}\right):\frac{m+4}{m}\).

Ответ: