Задача 5. Преобразуйте в дробь: а) $\frac{4}{a^2-2}-\frac{a^2-4}{8}+\frac{2}{a^2+2}$; б) $\frac{3}{a^2-4a}-\frac{1}{a-4}+\frac{a^2+4}{a}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Задача 5. Преобразуйте в дробь: а) $\frac{4}{a^2-2}-\frac{a^2-4}{8}+\frac{2}{a^2+2}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Обозначим $t=a^2$. Общий знаменатель исходных дробей: $8(t-2)(t+2)$. Тогда

\[\frac{4}{t-2}-\frac{t-4}{8}+\frac{2}{t+2}=\frac{32(t+2)-(t-4)(t-2)(t+2)+16(t-2)}{8(t-2)(t+2)}.\]

Числитель равен $-t^3+4t^2+44t+8$. Подставляя $t=a^2$, получаем

\[\frac{-a^6+4a^4+44a^2+8}{8(a^4-4)}.\]

Ограничение: $a^2\ne2$ и $a^2\ne-2$; для действительных $a$ достаточно $a\ne\pm\sqrt2$.

б) Разложим $a^2-4a=a(a-4)$. Общий знаменатель — $a(a-4)$:

\[\frac3{a(a-4)}-\frac{a}{a(a-4)}+\frac{(a^2+4)(a-4)}{a(a-4)}=\frac{3-a+(a^2+4)(a-4)}{a(a-4)}.\]

Раскрывая скобки в числителе, получаем $a^3-4a^2+3a-17$. Следовательно,

\[\frac{a^3-4a^2+3a-17}{a(a-4)},\qquad a\ne0,4.\]

Ответ: а) $\frac{-a^6+4a^4+44a^2+8}{8(a^4-4)}$; б) $\frac{a^3-4a^2+3a-17}{a(a-4)}$.

Задача 5. Преобразуйте в дробь: а) \(\frac{4}{a^2-2}-\frac{a^2-4}{8}+\frac{2}{a^2+2}\); б) \(\frac{3}{a^2-4a}-\frac{1}{a-4}+\frac{a^2+4}{a}\).