Задача 4.36. Выполните действия (\(n\) — натуральное число): а) \(\dfrac{x^{n+1}}{y^{n-1}}\cdot\dfrac{y^{n+1}}{x^{n+3}}\); б) \(\dfrac{x^{2n}-1}{x^{2n}+x^n+1}\cdot\dfrac{x^{3n}-1}{x^n+1}\); в) \(\dfrac{3a^n}{4b^{2n+2}}:\dfrac{6a^{n-2}}{b^{2n}}\); г) \(\dfrac{x^{n+8}\cdot y^{n-5}}{p^{2n+9}\cdot q^{3n-1}}:\dfrac{x^{n+6}\cdot y^{n-7}}{p^{n+10}\cdot q^{2n}}\).

а) Объединяем степени одинаковых оснований: \(x^{n+1-(n+3)}y^{n+1-(n-1)}=\dfrac{y^2}{x^2}\).

б) Пусть \(t=x^n\). Тогда \(t^2-1=(t-1)(t+1)\), \(t^3-1=(t-1)(t^2+t+1)\). Поэтому дроби сокращаются до \((t-1)^2\), то есть \((x^n-1)^2\). Ограничение исходного выражения: \(x^n+1\ne0\) и \(x^{2n}+x^n+1\ne0\).

в) Деление заменяем умножением на обратную дробь:

\(\dfrac{3a^n}{4b^{2n+2}}\cdot\dfrac{b^{2n}}{6a^{n-2}}=\dfrac{a^2}{8b^2}\).

г) Умножаем на обратную дробь и вычитаем показатели степеней:

\(x^{(n+8)-(n+6)}y^{(n-5)-(n-7)}p^{(n+10)-(2n+9)}q^{2n-(3n-1)}=\dfrac{x^2y^2}{p^{n-1}q^{n-1}}\).

Ответ: а) \(\dfrac{y^2}{x^2}\); б) \((x^n-1)^2\); в) \(\dfrac{a^2}{8b^2}\); г) \(\dfrac{x^2y^2}{p^{n-1}q^{n-1}}\).