Задача 4.37. Упростите выражения: а) \(\left(\dfrac{ab-5a+6b-30}{ab+6a+3b+18}\right)^4\cdot\left(\dfrac{a^2+6a+9}{10b-b^2-25}\right)^2\); б) \(\left(\dfrac{y^2-5y+6}{y^2+5y-6}\right)^6:\left(\dfrac{y^2-6y+9}{y^2+12y+36}\right)^3\).

а) Разложим многочлены на множители:

\(ab-5a+6b-30=(a+6)(b-5)\), \(ab+6a+3b+18=(a+3)(b+6)\), \(a^2+6a+9=(a+3)^2\), \(10b-b^2-25=-(b-5)^2\).

Тогда выражение равно \(\left(\dfrac{(a+6)(b-5)}{(a+3)(b+6)}\right)^4\cdot\left(-\dfrac{(a+3)^2}{(b-5)^2}\right)^2\). Возводим в степени и сокращаем:

\(\dfrac{(a+6)^4(b-5)^4}{(a+3)^4(b+6)^4}\cdot\dfrac{(a+3)^4}{(b-5)^4}=\dfrac{(a+6)^4}{(b+6)^4}\).

Ограничения: \(a\ne-3\), \(b\ne-6,5\).

б) Разложим на множители: \(y^2-5y+6=(y-2)(y-3)\), \(y^2+5y-6=(y+6)(y-1)\), \(y^2-6y+9=(y-3)^2\), \(y^2+12y+36=(y+6)^2\). Деление заменяем умножением на обратную дробь:

\(\left(\dfrac{(y-2)(y-3)}{(y+6)(y-1)}\right)^6\cdot\left(\dfrac{(y+6)^2}{(y-3)^2}\right)^3=\dfrac{(y-2)^6}{(y-1)^6}\).

Ограничения исходного выражения: \(y\ne-6,1,3\).

Ответ: а) \(\dfrac{(a+6)^4}{(b+6)^4}\); б) \(\dfrac{(y-2)^6}{(y-1)^6}\), при указанных ограничениях.