Задача 4 (доказательство, прямоугольник). Докажите, что если в параллелограмме диагонали равны, то все его углы прямые.

Пусть ABCD — параллелограмм, в котором диагонали AC и BD равны. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому AB = CD, а BC — общая сторона треугольников ABC и DCB.

Треугольники ABC и DCB равны по трём сторонам: AB = CD, BC = CB, AC = DB. Следовательно, соответствующие углы равны: ∠ABC = ∠DCB.

Соседние углы параллелограмма в сумме составляют 180°. Равные соседние углы, сумма которых равна 180°, каждый равны 90°. Тогда все углы параллелограмма прямые, поскольку противоположные углы равны.

Ответ: все углы параллелограмма равны 90°.