Задача 2 (признак квадрата через диагонали). Докажите, что если у ромба диагонали равны, то он является квадратом.

Пусть ABCD — ромб, диагонали которого AC и BD равны. Диагонали ромба делят его углы пополам. Рассмотрим треугольники ABC и BAD: AB — общая сторона, BC = AD как стороны ромба, AC = BD по условию. Треугольники равны по трём сторонам, поэтому ∠ABC = ∠BAD.

Соседние углы ромба в сумме составляют 180°. Так как они равны, каждый равен 90°. Следовательно, ромб имеет прямой угол, а значит, является квадратом.