Задача 3 (квадрат и середины сторон). В квадрате ABCD точки M, N, K, P — середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно. Докажите, что четырёхугольник MNKP — квадрат.

Рассмотрим треугольник ABC. Точки M и N — середины AB и BC, поэтому по теореме о средней линии MN ∥ AC и MN = AC : 2.

Аналогично:

• NK ∥ BD и NK = BD : 2;
• KP ∥ AC и KP = AC : 2;
• PM ∥ BD и PM = BD : 2.

Диагонали квадрата равны и перпендикулярны. Поэтому все стороны MNKP равны, а соседние стороны перпендикулярны. Следовательно, MNKP — квадрат.