Задача 4 (ромб и высота). В ромбе ABCD из вершины угла B провели высоту к стороне AD, и она разделила эту сторону пополам. Найдите все углы ромба.

Пусть высота из B пересекает AD в точке H. По условию H — середина AD, поэтому \(AH=\frac{AD}{2}\). В ромбе все стороны равны, следовательно, \(AB=AD\), и потому \(AH=\frac{AB}{2}\).

Треугольник ABH прямоугольный, так как BH — высота к AD. В нём гипотенуза AB вдвое больше катета AH, значит, угол напротив AH, то есть \(\angle ABH\), равен \(30^\circ\). Тогда \(\angle BAH=60^\circ\). Поскольку H лежит на AD, \(\angle BAH=\angle A\), значит, \(\angle A=60^\circ\). В ромбе противоположные углы равны, а соседние в сумме дают \(180^\circ\).

Ответ: \(\angle A=\angle C=60^\circ\), \(\angle B=\angle D=120^\circ\).