Задача 4. В параллелограмме ABCD биссектриса угла B пересекает сторону AD в точке F. а) Докажите, что треугольник ABF — равнобедренный. б) Найдите сторону AB, если AF = 9 см, а периметр параллелограмма равен 54 см.

а) BF — биссектриса угла B, значит, ∠ABF = ∠FBC. Так как AD ∥ BC и F лежит на AD, то ∠FBC = ∠BFA. Следовательно, ∠ABF = ∠BFA, а противоположные им стороны равны: AF = AB. Поэтому треугольник ABF равнобедренный.

б) По доказанному AB = AF = 9 см. Периметр параллелограмма: 2(AB + AD) = 54, откуда AD = 27 − 9 = 18 см. Эти данные согласуются с тем, что F лежит на стороне AD.

Ответ: AB = 9 см.