Задача 4. В равнобедренной трапеции ABCD (AD ∥ BC) основания равны 13 и 5. Диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD. Найдите площадь трапеции.

В равнобедренной трапеции разность оснований поровну приходится на два боковых выступа: (13 − 5) : 2 = 4. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда горизонтальная проекция диагонали AC равна 13 − 4 = 9, а горизонтальная проекция боковой стороны CD равна 4.

Векторы, направленные от C вдоль CA и CD, можно представить как (−9, −h) и (4, −h). Перпендикулярность означает, что их скалярное произведение равно нулю: (−9) · 4 + (−h) · (−h) = 0. Отсюда h² = 36, значит, h = 6.

Площадь трапеции: S = ((13 + 5) : 2) · 6 = 54.

Ответ: 54.