Задача 4. В треугольнике PQR стороны PQ=5, QR=7, PR=8. Найдите угол Q и площадь треугольника.

1. По теореме косинусов для угла Q, противоположного стороне PR=8: \(\cos Q=\frac{PQ^2+QR^2-PR^2}{2\cdot PQ\cdot QR}=\frac{25+49-64}{70}=\frac17\). Поэтому \(Q=\arccos\frac17\approx81.8^\circ\).
2. По формуле Герона полупериметр \(p=\frac{5+7+8}{2}=10\). Площадь \(S=\sqrt{p(p-5)(p-7)(p-8)}=\sqrt{10\cdot5\cdot3\cdot2}=10\sqrt3\).

Ответ: \(Q=\arccos\frac17\approx81.8^\circ\), \(S=10\sqrt3\).