Задача 5 (практико-ориентированная). Две стороны треугольника равны 10 и 14, а угол между ними — 120°. Найдите третью сторону, а также медиану, проведённую к этой стороне.

1. Пусть третья сторона равна c. По теореме косинусов: \(c^2=10^2+14^2-2\cdot10\cdot14\cos120^\circ=100+196+140=436\), поэтому \(c=2\sqrt{109}\).
2. Медиана к стороне c делит её пополам. По формуле медианы к стороне c: \(m_c=\frac12\sqrt{2\cdot10^2+2\cdot14^2-c^2}\).
3. Подставим \(c^2=436\): \(m_c=\frac12\sqrt{200+392-436}=\frac12\sqrt{156}=\sqrt{39}\).

Ответ: третья сторона равна \(2\sqrt{109}\), медиана к ней — \(\sqrt{39}\).